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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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3. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
e) f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

En este caso fijate que tenemos que pedir que 1+x2≠01+x^{2} \neq 0. Sin embargo, esta expresión nunca vale cero, para ningún real. Por lo tanto el dominio de ff es todo R\mathbb{R}

2) Derivamos f(x)f(x)

Atenti, regla del cociente!

f′(x)=(1+x2)−x(2x)(1+x2)2= 1+x2−2x2(1+x2)2= 1−x2(1+x2)2  f'(x) = \frac{(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} 

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

1−x2(1+x2)2=0 \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} = 0 1−x2=0 1 - x^2 = 0

Terminando de despejar, los puntos críticos en este caso son x=−1x=-1 y x=1x=1

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<−1 x < -1 b) −1<x<1 -1 < x < 1 c) x>1 x > 1

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

En x<−1 x < -1 ,  f′(x) f'(x) es negativa y f(x) f(x) es decreciente En −1<x<1 -1 < x < 1 , f′(x) f'(x) es positiva y f(x) f(x) es creciente. En x>1 x > 1 , f′(x) f'(x) es negativa y f(x) f(x) es decreciente.


Entonces, recapitulando:

Intervalo de crecimiento: (−1,1)(-1,1)

Intervalo de decrecimiento: (−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)
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